求最大最小值，最少要进行多少次比较？ | 经典面试题

如何从n个数里找到最大值？

很容易想到，用一个循环就能搞定。 

int find_max(int arr[n]){

    int max = -infinite;

    for(int i=0; i

        if(arr[i]>max)

            max=arr[i];

    return max;

}

这里，需要执行n-1次比较。

如何从n个数里找到最大值与最小值？

很容易想到，用一个循环找到最大值和最小值，就能搞定。 

(int, int) find_max_min(int arr[n]){

    int max = -infinite;

    int min = infinite;

 

    for(int i=0; i

        if(arr[i]>max)

            max=arr[i];

        if(arr[i]

            min=arr[i];

    }

 

    return (max, min);

}

这里，需要执行2*(n-1)=2n-2次比较。

还有没有更快的方法呢？

分治法或许可以派上用场，分治法的思路是：

(1)把大规模拆分成小规模；

(2)小规模分别求解；

(3)小规模求解之后，再综合求解大规模；

看能不能往这个例子里套用：

(1)将arr[0,n]分为arr[0,n/2]和arr[n/2,n]；

(2)每个子数组分别求解最大值和最小值；

(3)两个子数组的最大值里再取最大值，两个子数组的最小值里再取最小值，就是最终解；

伪代码大概是这样：

(int, int) find_max_min(int arr[0,n]){

    // 递归左半区

    (max1, min1) = find_max_min(arr[0, n/2]);

    // 递归右半区

    (max2, min2) = find_max_min(arr[n/2, n]);

 

    // 再计算两次

    max = max1>max2?max1:max2;

    min = min1

 

    return (max, min);

}

 画外音，实际的递归代码要注意：

(1)入参不是0和n，而是数组的下限和上限；

(2)递归要收敛，当数组的上下限相差1时，只比较一次，直接返回max和min，而不用再次递归；

分治法之后，时间复杂度是多少呢？

 分治法的时间复杂度分析：

• 当只有2个元素时，只需要1次计算就能知道最大，最小值
• 当有n个元素时，

     (1)递归左半区；

     (2)递归右半区；

     (3)再进行两次计算；

f(2)=1;【式子A】

f(n)=2*f(n/2)+2;【式子B】

求解递归式子，得到：

f(n)=1.5n-2;

画外音，证明过程如下：

【式子B】不断展开能得到：

f(n)=2*f(n/2)+2;【式子1】

f(n/2)=2*f(n/4)+2;【式子2】

f(n/4)=2*f(n/8)+2;【式子3】

...

f(n/2^(m-1))=2*f(2^m)+2;【式子m】

通过这m个式子的不断代入，得到：

f(n)=(2^m)*f(n/2^m)+2^(m+1)-2;【式子C】

由于f(2)=1【式子A】;

即【式子C】中n/2^m=2时，f(n/2^m)=f(2)=1;

此时n=2^(m+1)，代入【式子C】

即f(n)=n/2 + n -2 = 1.5n-2;

证明过程很严谨，但我知道你没看懂。

总结，n个数：

• 求最大值，遍历，需要n-1次计算
• 求最大最小值，遍历，需要2n-2次计算
• 求最大最小值，分治，时间复杂度1.5n-2

思路比结论重要，希望大家有收获。

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作业题，n个数：

(1)求最大值，n-1次计算，是最快的方法吗？

(2)求最大最小值，1.5n-2，是最快的方法吗？